logo

logo

logo

logo

logo



التوازن البياني

توازن بياني

Graphical statics - Statique graphique

التوازن البياني

 

يمكن دوماً دراسة علم التوازن لمجموعة نقط مادية بالطريقة التحليلية، إلا أنه يكون من المهم في بعض المسائل التطبيقية، والهندسية منها خاصة، أن يُدْرس التوازن بسرعة ويُسر ووضوح مع دقة مقبولة، والطريقة البيانية graphical تفي بهذا الطلب، إذ يمكن بهذه الطريقة الحصول على محصلة resultant مجموعة قوى مستوية، أي الحصول بالرسم على القوة التي يكافئ فعلها فعل مجموعة القوى، مما يجعل من الممكن الحكم على مجموعة القوى فيما إذا كانت متوازنة أم غير متوازنة، والتوصل إلى شروط توازنها دون اللجوء إلى الطريقة التحليلية.

تُعيَّن حاصلة geometrical sum قوتين، أي المجموع الهندسي لهما الذي يمكن تعيينه في أي نقطة من الفضاء، بالرسم بطريقة متوازي الأضلاع، بَيْدَ أنه يتعذر استخدام هذه الطريقة في حالة القوى المتوازية، أو في حالة القوى التي لا تلتقي خطوط تأثيرها في منطقة محدودة من المستوي. ويستخدم لتجاوز هذه المشكلة ما يسمى مضلع القوى force polggon، والمضلع الحبلي string polygon أو funicular polygon.

مضلع القوى: لتعيين حاصلة مجموعة قوى مستوية          ، يرسم من نقطة ما 0) في مستوي القوى       متجه            يساير القوة     ، ومن نهاية هذا المتجه يرسم متجه يساير القوة وهكذا... فيكون المتجه مسايراً للقوة  (الشكل-1). يسمى المضلع أ0 أ1 أ2...أن مضلع القوى أو المضلع التحريكي. ويكون المتجه      مسايراً لحاصلة القوتين    ، ويسمى الحاصلة الجزئية الأولى    ، ويساير المتجه  حاصلة القوى الثلاث  ويسمى الحاصلة الجزئية الثانية  وهكذا..، ويساير المتجه  حاصلة القوى ، ويعيّن منحى الحاصلة  وجهتها وشدتها.

إذا انطبقت النقطة الأخيرة أن من مضلع القوى على النقطة الأولى أ0، سمي المضلع مغلقاً، وتكون حاصلة القوى            مساوية الصفر.

المضلع الحبلي ومحصلة مجموعة قوى مستوية: (الشكل-2)

1- الطريقة الأولى: بعد رسم مضلع القوى أ0 أ1...أن يُمدَّد حامل القوة، وليكن ل1 إلى أن يقطع حامل القوى في النقطة ب1، ويرسم من هذه النقطة مستقيم ل2 يوازي الحاصلة الجزئية من مضلع القوى، فيقطع هذا المستقيم حامل القوة في النقطة ب2، ثم يُرسم من ب2 مستقيم ل3 يوازي الحاصلة الجزئية الثانية وهكذا... فيكون المستقيم لن موازياً للحاصلة     (الشكل-3). يسمى المضلع الناتج ب1 ب2...بن-1 المضلع الحبلي لمجموعة القوى . ويلاحظ أنه في حين يعيِّن مضلع القوى شدّات الحاصلات  ومناحيها واتجاهاتها، فإن المضلع الحبلي يعيِّن حوامل هذه الحاصلات. ويقال عن المضلع الحبلي إنه مغلق، إذا انطبق الضلع لن-1 على القوة الأخيرة        ، وتكون مجموعة القوى في هذه الحالة مكافئة الصفر، أما إذا كان لن-1  يوازي

فإن المجموعة تكافئ مزدوجة.

2- الطريقة الثانية: بعد رسم مضلع القوى أ0 أ1...أن تؤخذ نقطة م0 مثلاً من مستوي هذا المضلع، يطلق عليها اسم القطب. توصل هذه النقطة برؤوس مضلع القوى فتنتج المستقيمات       التي رُمز لها في الشكل 4 بالأرقام 0، 1، 2، ن. يرسم من نقطة جـ0 من المستوي مستقيم ل0 يوازي م0 أ0، ويُمدَّد هذا المستقيم حتى يقطع حامل القوة     في نقطة جـ1. يُرسم من هذه النقطة مستقيم ل1 يوازي م أ1 ويمدَّد حتى يقطع حامل     في نقطة جـ2 وهكذا... فيكون المضلع جـ0 جـ1...جـن هو المضلع الحبلي. وإذا تلاقى الضلعان، الأول ل0 والأخير لن، من المضلع الحبلي في نقطةٍ ولتكن هـ، فإن مجموعة القوى تُردّ إلى قوة وحيدة تمر من هذه النقطة، مما يبيِّن أن المضلع الحبلي يعيِّن نقطة من حامل المحصلة. أما إذا انطبق الرأس أن على أ0 في مضلع القوى وتوازى الضلعان ل0، لن من المضلع الحبلي فإن مجموعة القوى تكافئ مزدوجة، في حين تكون مجموعة القوى مكافئة الصفر إذا انطبق الرأس أن على أ0 في مضلع القوى وانطبق ل0 على لن في المضلع الحبلي، ويكون المضلع الحبلي في هذا الحالة مغلقاً (الشكل-5). وتعدُّ هذه الطريقة أعم من الطريقة الأولى لأنها تنجح في تعيين محصلة مجموعة قوى مستوية دوماً، في حين تخفق الطريقة الأولى في بعض الأحيان كما في حالة القوى المتوازية أو الحالة التي تكون فيها الزوايا بين القوى صغيرة.

3- محصلة قوى مستوية غير متوازية:

 لتعيين محصلة قوى مستوية كيفية يرسم مضلع القوى أ0 أ1...أن ثم يرسم المضلع الحبلي بالطريقة الأولى (الشكل-3) فيمثِّل الضلع الأخير لن منه حامل الحاصلة، الذي يؤخذ عليه متجه يساوي      فيكون هو المحصلة المطلوبة، أو يُرسم المضلع الحبلي بالطريقة الثانية ويمدَّد الضلعان ل0 ولن فيلتقيان في نقطة هـ من المحصلة التي يرسم منها متجه يساوي المتجه        فيكون هو المحصلة المطلوبة (الشكل-4).

 

 

4- محصلة قوى مستوية متوازية:

يرسم مضلع القوى أ0 أ1...أن، فتكون أضلاع هذا المضلع منطبقة على مستقيم واحد في هذه الحالة. توصل رؤوس هذا المضلع بالقطب م، ثم يرسم من نقطة من مستوي القوى المضلع الحبلي كما في الطريقة الثانية، ويمدد الضلعان الأول والأخير من المضلع الحبلي حتى يتقاطعا في نقطة هـ يرسم منها متجه يساير فيكون هو المحصلة المطلوبة (الشكل-6).

مركز ثقل مجموعة نقط

 لتعيين مركز ثقل مجموعة نقط تقع في مستو شاقولي واحد، يُرسم مضلع القوى م أ0 أ1...أن والمضلع الحبلي بالطريقة الثانية، وليكن جـ0 جـ1...جـن هذا المضلع. يمدَّد الضلعان الأول والأخير فيتقاطعان في نقطةٍ مثل هـ، ثم يُرسم من هذه النقطة مستقيم شاقولي . إن مركز الثقل يقع على هذا المستقيم. يُدوَّر المضلع م أ0 أ1...أن حول القطب م في مستويه بزاويةٍ ما (تؤخذ زاوية الدوران قائمة للسهولة)، فتُدار بذلك القوى كلها بهذه الزاوية. يُرسم المضلع الحبلي جـَ0 جـَ1...جـَن ثم يمدّد الضلعان الأول والأخير من هذا المضلع حتى يتقاطعا في نقطة مثل هَـ يرسم منها مستقيم أفقي ، فيكون مركز الثقل المطلوب هو نقطة تقاطع المستقيمين . ويوضح (الشكل-7) هذه الطريقة في حالة نقطتين ثقيلتين ب1، ب2.

ويمكن استخدام الطريقة ذاتها لتعيين مركز ثقل سطح مستو محدود، وذلك بتجزئة هذا السطح إلى سطوح عنصرية يُعيَّن مركز ثقل كل منها، ثم يعيَّن مركز ثقل مجموعة النقط الناتجة.

شروط توازن مجموعة قوى مستوية

 إن الشرط اللازم والكافي لتوازن مجموعة قوى مستوية بطريقة بيانية هو أن يغلق مضلع القوى ويغلق المضلع الحبلي لهذه القوى، لأن إغلاق مضلع القوى يعني أن حاصلة هذه القوى تساوي الصفر، وإغلاق المضلع الحبلي يعني أن العزم الحاصل لهذه القوى يساوي الصفر، مما يقود إلى أن مجموعة القوى تُردُّ إلى قوتين متعاكستين مباشرة، وهذا يعني أن المجموعة متوازنة.

تفريق قوة إلى ثلاث قوى متلاقية

 إذا كانت حوامل هذه القوى الثلاث متلاقية في نقطة واحدة، فإن تفريق القوة  يتم بإسقاط القوة على المستقيمات الثلاثة. أما إذا كانت المستقيمات التي يراد تفريق القوة وفقها متلاقية ولكنها لا تمر بنقطة واحدة، فإن التفريق يتم باستخدام مضلع القوى. فإذا فرض أن ل هو حامل القوة وأن المتجه  يساير القوة ، وكان المطلوب تفريق وفق المستقيمات 1، 2، 3 المتلاقية مثنى، فإن التفريق يتم بالطريقة التالية: يُرسم من النقطة ب1 مستقيم ل1 يوازي المستقيم (1) ويرسم من النقطة ب4 مستقيم ل2 يوازي المستقيم جـ1جـ2 حيث تكون جـ1 نقطة تقاطع ل مع المستقيم (1) وتكون جـ2 نقطة تقاطع المستقيمين (2) و(3)، فيتقاطع المستقيمان ل1 ول2،

 بنقطة ب2 يرسم منها مستقيم ل3 يوازي المستقيم (3)، فيقطع المستقيم ل4، المرسوم من ب4 موازياً للمستقيم (2)، بنقطة ولتكن ب3. يؤخذ على المستقيم (1) متجه  يساوي ، ويؤخذ على المستقيم (2) متجه يساوي وعلى المستقيم (3) متجه يساوي فتكون القوى الثلاث هي القوى المطلوبة، ويكون المضلع ب1 ب2 ب3 ب4 هو مضلع القوى الموافق (الشكل-8).

ـ تفريق قوة إلى قوتين موازيتين لها:

 لتكن           قوة حاملها ل ويطلب تفريقها إلى قوتين وفق المستقيمين ل1 ول2 الموازيين للمستقيم (ل). تؤخذ من أجل ذلك نقطة م في المستوي الحاوي على المستقيمات الثلاثة وتوصل بكلٍ من ب1 وب3، ثم يُرسم من نقطة ما جـ من المستقيم ل مستقيمان: الأول    يوازي م ب1 فيقطع ل1 في جـ1، والثاني    يوازي م ب3  فيقطع ل2 في جـ2،

 ويتم بوصل جـ1 جـ2 تكوين المضلع الحبلي الموافق جَـ1جـ-1 جـ2 جَـ-2. يرسم بعدئذ من النقطة م مستقيم يوازي جـ1 جـ2 فيقطع المستقيم ب1 ب3 بنقطة ب2، ثم يؤخذ على المستقيم ل1 قوة

 وعلى ل2 قوة     

         فتكون هما المركبتان المطلوبتان ويكون المضلع م ب1ب2ب3 هو مضلع القوى الموافق (الشكل-9).

دعد الحسيني

 

 

الموضوعات ذات الصلة:

 

التوازن (علم ـ).

 

مراجع للاستزادة:

 

 

ـ وجيه القدسي، موجز الميكانيك، الجزء الثاني (مطبعة جامعة دمشق 1973-1974).

- P.Germain, Introduction a la mecanique des milieun contiues (Masson, Paris 1980).

- Timoshenko and Young, Engineering Mechanics (Mc.Graw-Hill Inc.1956).




التصنيف : الرياضيات و الفلك
النوع : علوم
المجلد: المجلد السابع
رقم الصفحة ضمن المجلد : 84
مستقل

آخر أخبار الهيئة :

البحوث الأكثر قراءة

هل تعلم ؟؟

للحصول على اخبار الموسوعة

عدد الزوار حاليا : 5
الكل : 2705185
اليوم : 406

التم (الأوز العراقي)

التم (الأوز العراقي)   التم طائر مائي يشبه الأوز، يوجد في كثير من أصقاع العالم مفضلاً البحيرات والمستنقعات. ينتسب إلى فصيلة البطيات Antides التي تضم 145 نوعاً. ويؤلف مع الأوز والأوز القطبي قبيلة الأوزيات Anserines. يتصف التم بعنق طويل يحتوي على 23-25 فقرة (بدلاً من 18-19 فقرة لدى الأوز) وبجسم ثقيل وقائمتين قصيرتين مجدافيتين تساعدانه في الانسياب على وجه الماء برشاقة. لون ريش الطيور الفتية أسمر أو رمادي، أما البالغة منها فلون ريشها أبيض (الشكل -1) أو أسود أو أبيض وأسود.

المزيد »